داخلی
مرزی
بیرونی
تمرین 1
نقاط را بر اساس موقعیتشان نسبت به دایره دستهبندی کن: داخلی، مرزی، بیرونی.
این نقاط در فضای متریک دوبعدی هستند (x,y)
تمرین 2
پاسخ:
- A° = (0,1)
- Ext(A) = (-∞,0) ∪ (1,2) ∪ (2,∞)
- {0,1,2} = (A)∂
- [0,1] ∪ {2} = \(\overline{A} \)
و بنابراین A° = (0,1) ≠ [0,1] = Ā.
تمرین 3
A = {(x,y) | x²+y² < 1} ∪ {(2,0)} (دایره باز واحد به علاوه یک نقطه ایزوله).
نقاط داخلی، بیرونی، مرزی و بستار را تعیین کنید.
نقاط داخلی، بیرونی، مرزی و بستار را تعیین کنید.
پاسخ:
- A° = {(x,y) | x²+y² < 1}
- Ext(A) = {(x,y) | x²+y² > 1, (x,y) ≠ (2,0)}
- {(x,y) | x²+y² = 1} ∪ {(2,0)} = (A)∂
- Ā = {(x,y) | x²+y² ≤ 1} ∪ {(2,0)}
تمرین 4
پاسخ:
- با متریک اقلیدسی: A° = ∅ ، ∂A = A ، Ā = A.
- با متریک گسسته: A° = A ، ∂A = ∅ ، Ā = A.
تمرین 5
A = ℚ ∩ [0,1]
الف) نشان دهید int(A) = ∅ و Ā = [0,1].
ب) ثابت کنید ∂A = [0,1].
ج) مثالی بیابید که int(∂A) ≠ ∅.
الف) نشان دهید int(A) = ∅ و Ā = [0,1].
ب) ثابت کنید ∂A = [0,1].
ج) مثالی بیابید که int(∂A) ≠ ∅.
پاسخ:
- A° = ∅
تعریف:
x∈ °A اگر یک بازه باز
(
𝑥
−
𝑟
,
𝑥
+
𝑟
)
وجود داشته باشد که کاملاً در
A قرار گیرد.
اما 𝐴 = 𝑄 ∩ [ 0 , 1 ] A=Q∩[0,1] است، یعنی اعداد گویا بین 0 و 1. در هر بازه باز ( 𝑥 − 𝑟 , 𝑥 + 𝑟 ) (x−r,x+r) هم عدد گویا وجود دارد و هم عدد غیرگویا.
بنابراین هیچ بازهای را نمیتوان پیدا کرد که کاملاً داخل 𝐴 A باشد. ⇒ i n t ( 𝐴 ) = ∅ ⇒int(A)=∅تمرین 6
تصویر / تعامل
پاسخ تمرین 6