نقاط درونی، بیرونی و مرزی و بستار یک مجموعه

فضاهای متریک

همسایگی یک نقطه مانند P با شعاع r مجموعه تمام نقاطی است که از نقطه p به اندازه کمتر از r فاصله دارند.

N(p , r) = { q ∈ x | d(p , q) < r }

این مفهوم پایه درک نقاط درونی و بیرونی است.

همسایگی یک نقطه (Neighborhood)

همسایگی یک نقطه مانند P با شعاع r مجموعه تمام نقاطی است که از نقطه p به اندازه کمتر از r فاصله دارند.

N(p , r) = { q ∈ x | d(p , q) < r }

این مفهوم پایه درک نقاط درونی و بیرونی است.

نقاط درونی یک مجموعه (Interior Points)

تعریف ریاضی دقیق:
نقطه x نقطه درونی مجموعه A⊆ℝ است اگر وجود داشته باشد δ>0 به‌طوری که بازه باز (x-δ, x+δ) کاملاً زیرمجموعه A باشد. مجموعه همه نقاط درونی A را داخلی A یا Int(A) یا A° می‌نامند.

توضیح شهودی و ساده:
نقطه درونی جایی است که «کاملاً داخل» مجموعه قرار دارد و کمی فضای خالی اطرافش وجود دارد که همه آن فضا هنوز داخل مجموعه است. یعنی می‌توان یک توپ کوچک (بازه باز) اطراف آن کشید که کاملاً داخل مجموعه بماند.

مثال:
برای A = [0,1]، نقاط درونی همه نقاط بازه (0,1) هستند.
نقاط ۰ و ۱ درونی نیستند، چون هر بازه بازی اطرافشان شامل نقاطی خارج از [0,1] است.
بنابراین Int([0,1]) = (0,1).

$نقطه درونی با همسایگی$

نقاط بیرونی یک مجموعه (Exterior Points)

تعریف ریاضی دقیق:
نقطه x نقطه بیرونی مجموعه A است اگر نقطه درونی متمم A (یعنی A^c) باشد. به‌عبارت دیگر، وجود دارد δ>0 به‌طوری که بازه باز (x-δ, x+δ) کاملاً زیرمجموعه A^c باشد. مجموعه همه نقاط بیرونی را Exterior(A) می‌نامند.

توضیح شهودی و ساده:
نقطه بیرونی جایی است که «کاملاً خارج» از مجموعه است و کمی فضای خالی اطرافش وجود دارد که همه آن فضا هنوز خارج از مجموعه باقی می‌ماند.

مثال:
برای A = [0,1] در فضای ℝ، نقاط بیرونی همه نقاطی هستند که یا کوچکتر از ۰ یا بزرگتر از ۱ باشند و فاصله‌شان از [0,1] مثبت باشد.
مثلاً همه نقاط در (-∞,0) ∪ (1,+∞) نقاط بیرونی هستند.

نقاط مرزی (Boundary Points)

p را نقطه مرزی گویند هرگاه نه درونی نه بیرونی باشد به عبارت دیگر یعنی هر همسایگی در نقطه p باید هم A را قطع کندهم متمم A را. (P ممکن است عضو A باشد یا نباشد)

به عبارت دیگر: ∀ ε > 0; N(x, ε) ∩ A ≠ ∅ و N(x, ε) ∩ (X\A) ≠ ∅

مجموعه نقاط مرزی را Bd(A) یا ∂A می‌گویند.

بستار یک مجموعه (Closure)

بستار مجموعه A برابر است با A ∪ Bd(A)

یعنی مجموعه به همراه تمام نقاط مرزی‌اش.

مسائل و قضایا

قضیه:

\[ (\overline{A})^c = (A^c)^\circ \]

متمم بستار مجموعهٔ $ A $ برابر است با نقاط درونی متمم مجموعهٔ $ A $.

سوال: دمین شریم $ (\overline{A})^c $ بین $ (A^c)^\circ $ شریم؟

پاسخ: بین $ (\overline{A})^c $ و $ (A^c)^\circ $.
مثلاً $ \mathbb{N}(1) \subset A^c $ لذا $ B(\mathbb{N}(1), r) \subset A^c $

$ A \subset B $ یعنی $ \forall x \in A \implies x \in B $

\* $ \forall A, B; \quad B \cap A = \emptyset \Leftrightarrow B \subseteq A^c $

سوال: بین $ B \cap A $ و $ B \cap A^c $ کدوم بزرگتره؟ (از نظر قدر مطلق)

چون $ B \cap A^c = B \subseteq A^c $،
بینان صلب: قدر $ B \cap A $ و $ B \cap A^c $ بینان صلب قدر $ B $.

سوال: بین $ B \cap A $ و $ B \cap A^c $ کدوم بزرگتره؟

$ B \cap A^c $ بزرگتره (چون $ B \subseteq A^c $).

سوال: بین $ u \in A $، $ u \in B $ یا $ u \in B \cap A $ کدام بزرگتره؟

$ u \in A^c $. لذا $ B \cap A = \emptyset $،
لذا بینان صلب با هم برابرن.

$ X: u \in A^c $ یعنی با هم برابرن.

یادآوری علائم

$ \overline{A} $: بستار مجموعه $ A $
$ A^c $: متمم مجموعه $ A $
$ (A^c)^\circ $ یا $ \mathring{A^c} $: نقاط درونی (داخلی) متمم $ A $

۲. مجموعه بسته: مجموعه‌ای است که مکملش باز باشد (یا همه نقاط مرزی‌اش داخل خودش باشد).

۳. بسته شدن مجموعه (Closure): A ∪ Bd(A)

۴. مثال: در خط واقعی، بازه (0,1) نقاط درونی دارد، نقاط ۰ و ۱ مرزی هستند و بقیه بیرونی.

بعدی: شکل های بصری برای یادگیری عمیق