نقاط درونی، بیرونی و مرزی و بستار یک مجموعه

مقدمه

در این صفحه، به مفاهیم مهمی مانند فضاهای متریک، همسایگی، نقاط درونی، بیرونی، مرزی و بستار یک مجموعه می‌پردازیم. این مفاهیم در توپولوژی و تحلیل ویژه نقش حیاتی دارند.

هدف فراهم اوردن این بستر برای آموزش نقاط درونی ، بیرونی ، مرزی و بستار یک مجموعه برای شما کاربر گرامی هست ولی به جهت یادگیری راحت تر این مطالب توضیحات مختصری درباره فضاهای متریک و همسایگی نقاط داده شده است.

تعاریف را با دقت مطالعه کرده و سپس برای یادگیری عمیق سایر بخش هارا بررسی کنید.

توجه: با ضربه زدن بر روی بخش مورد نظر از منوی بالا به قسمت توضیحات آن بخش بروید.

فضاهای متریک

تعریف: فرض کنید \( X \neq \emptyset \) یک مجموعه باشد. تابع \( d: X \times X \to \mathbb{R} \) یک متریک روی \( X \) نامیده می‌شود اگر خواص زیر را داشته باشد:

1. \( d(p, q) = 0 \) اگر و تنها اگر \( p = q \)
2. \( d(p, q) = d(q, p) \) برای هر \( p, q \in X \) (تقارن)
3. \( d(p, r) \leq d(p, q) + d(q, r) \) برای هر \( p, q, r \in X \) (نامساوی مثلث)
4. \( d(p, q) \geq 0 \) برای هر \( p, q \in X \)

در این صورت X را همراه d فضای متریک می گویند.(X ,d)

مثال‌ها: متریک‌های معروف روی \(\mathbb{R}^n\)

روی فضای \(\mathbb{R}^n\) (یعنی مجموعه همه n-تایی مرتب \((x_1, \dots, x_n)\)) متریک‌های زیر قابل تعریف هستند:

1. متریک اقلیدسی (فاصله اقلیدسی):

   \[ d_e(u, v) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \]

   که در آن \( u = (x_1, \dots, x_n) \) و \( v = (y_1, \dots, y_n) \).

2. متریک منهتن (فاصله منهتن):

   \[ d_1(u, v) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i| \]

   که در آن \( u = (x_1, \dots, x_n) \) و \( v = (y_1, \dots, y_n) \).

3. متریک چبیشف (فاصله چبیشف):

   \[ d_m(u, v) = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i| \]

   که در آن \( u = (x_1, \dots, x_n) \) و \( v = (y_1, \dots, y_n) \).

4. متریک مینکوفسکی (فاصله مینکوفسکی):

   \[ d_p(u, v) = \left( \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p \right)^{1/p} \]

   که در آن \( u = (x_1, \dots, x_n) \) و \( v = (y_1, \dots, y_n) \).

   نکته:برای \( p = 2 \) دقیقاً متریک اقلیدسی به دست می‌آید.

همه این توابع متریک‌های معتبر روی \(\mathbb{R}^n\) هستند و فضای \(\mathbb{R}^n\) را به یک فضای متریک تبدیل می‌کنند.

مثال (متریک گسسته):

یکی از مهم ترین فضاهای متریک ، فضای متریک گسسته است.

فرض کنید \( X \neq \emptyset \) یک مجموعه دلخواه باشد. تابع زیر را تابع فاصله d تعریف می کنیم:

آنگاه \( d \) یک متریک روی \( X \) است و به آن متریک گسسته (یا متریک جدا) گفته می‌شود.

------------------------------------------------------

همسایگی یک نقطه (Neighborhood)

همسایگی یک نقطه مانند P با شعاع r مجموعه تمام نقاطی است که از نقطه p به اندازه کمتر از r فاصله دارند.

همسایگی به مرکز p ∈ X و شعاع r > 0 عبارت است از:

\(N_r(p)\) نشان دهنده همسایگی نقطه p به شعاع r است.

این مفهوم پایه درک نقاط درونی و بیرونی است.

نقاط مرزی (Boundary Points)

p را نقطه مرزی گویند هرگاه نه درونی نه بیرونی باشد به عبارت دیگر یعنی هر همسایگی در نقطه p باید هم A را قطع کندهم متمم A را. (P ممکن است عضو A باشد یا نباشد)یعنی:

\[ \forall r > 0 : \quad N_r(p) \not\subseteq A \quad \& \quad N_r(p) \not\subseteq A^c \]

مثال:

برای A = (0,1)، نقاط مرزی ۰ و ۱ هستند.

برای A = [0,1] نیز نقاط مرزی همچنان ۰ و ۱ هستند.

بستار یک مجموعه (Closure)

فرض کنید \((X, d)\) یک فضای متریک و \( A \subseteq X \) باشد.

تعریف: بستار \( A \) (که با \( \overline{A} \) یا \( \operatorname{Cl}(A) \) نشان داده می‌شود) برابر است با اتحاد \( A \) و مجموعه نقاط مرزی آن:

\[ \overline{A} = A \cup \partial A \]

به عبارت دیگر، بستار \( A \) شامل همه نقاط خود \( A \) به علاوه همه نقاط مرزی \( A \) است.

چرا این تعریف درست است؟

• هر نقطه‌ای که در \( A \) است، یا نقطه داخلی است یا نقطه مرزی، پس در \( A \cup \partial A \) قرار دارد.
• هر نقطه مرزی \( \partial A \) طوری است که هر توپ باز اطرافش هم به \( A \) می‌خورد و هم به مکمل \( A \)، بنابراین نمی‌تواند نقطه بیرونی باشد.
• نقاط بیرونی \( A \) (یعنی نقاطی که توپ بازی کاملاً خارج از \( A \) دارند) نه در \( A \) هستند و نه مرزی، پس در بستار نیستند.

مسائل و قضایا

مسئله: هر مجموعه زیر مجموعه بستار خود است

اثبات کنید: \( A \subseteq \overline{A} \).

فرض می کنیم \( x_0 \in A \)

چون \(d(x_0, x_0) = 0 < r \) پس \( x_0 \in N_r(x_0) \)

بنابراین \[ \forall r > 0 : \quad N_r(x_0) \cap A \neq \emptyset\]

پس\( x_0 \in \overline{A} \)

در نتیجه \( A \subseteq \overline{A} \).

قضیه:در فضای متریک گسسته، هر نقطه ، نقطه درونی هست و مرز هر مجموعه تهی است

اثبات کنید: در فضای متریک گسسته، هر نقطه ، نقطه درونی هست و مرز هر مجموعه تهی است

فرض کنید \((X, d)\) فضای متریک گسسته باشد، یعنی:

\[ d(x, y) = \begin{cases} 0 & x = y \\ 1 & x \neq y \end{cases} \]

و \( A \subseteq X \) دلخواه باشد.

قسمت اول: هر نقطه \( p \in A \) نقطه داخلی \( A \) است.

اثبات:

کافی است \( r = \frac{1}{2} \) (یا هر \( 0 < r < 1 \)) بگیریم.

حال \( N_r(p) = \{ x \in X \mid d(p, x) < r \} = \{ x \in X \mid d(p, x) < \frac{1}{2} \}\).

چون فاصله‌ها فقط ۰ یا ۱ هستند و \( d(p, p) = 0 < \frac{1}{2} \)، اما برای هر \( x \neq p \) داریم \( d(p, x) = 1 \not< \frac{1}{2} \)،

پس \( N_r(p) = \{p\} \subseteq A \) (زیرا \( p \in A \)).

بنابراین هر \( p \in A \) نقطه داخلی \( A \) است ⇒ \( A \subseteq \operatorname{int}(A) \subseteq A \) ⇒ \( \operatorname{int}(A) = A \). ■

قسمت دوم: مرز هر مجموعه تهی است، یعنی \( \partial A = \emptyset \).

اثبات:

فرض کنید بر خلاف، \( p \in \partial A \) وجود داشته باشد.

آنگاه \( p \) نقطه مرزی است، یعنی:

\[ \forall r > 0 : \quad N_r(p) \cap A \neq \emptyset \quad \text{و} \quad N_r(p) \cap A^c \neq \emptyset \]

حال \( r = \frac{1}{2} \) بگیریم. همان‌طور که بالا دیدیم:

\[ N_{\frac{1}{2}}(p) = \{p\} \]

اگر \( p \in A \)، آنگاه \( N_{\frac{1}{2}}(p) \cap A^c = \{p\} \cap A^c = \emptyset \) (تناقض).

اگر \( p \notin A \)، آنگاه \( N_{\frac{1}{2}}(p) \cap A = \{p\} \cap A = \emptyset \) (تناقض).

در هر حال تناقض به دست می‌آید.

بنابراین هیچ نقطه مرزی وجود ندارد ⇒ \( \partial A = \emptyset \). ■

قضیه: نقاط داخلی یک مجموعه زیرمجموعه بستار آن هستند

اثبات: نقاط داخلی یک مجموعه زیرمجموعه بستار آن هستند

فرض کنید \((X, d)\) یک فضای متریک و \( A \subseteq X \) باشد.

می‌دانیم (از مسئله قبلی) که همیشه \( A \subseteq \overline{A} \).

باید نشان دهیم \( \operatorname{int}(A) \subseteq \overline{A} \).

اثبات:

هر نقطه داخلی از \( A \) حتماً عضو خود \( A \) است.

یعنی اگر \( p \in \operatorname{int}(A) \)، آنگاه \( p \in A \).

بنابراین:

\[ \operatorname{int}(A) \subseteq A \]

و از فرض شناخته‌شده داریم:

\[ A \subseteq \overline{A} \]

پس با ترکیب این دو:

\[ \operatorname{int}(A) \subseteq A \subseteq \overline{A} \]

یعنی:

\[ \operatorname{int}(A) \subseteq \overline{A} \].■

مسئله: اگر \( A \subseteq B \)، آنگاه \( \operatorname{int}(A) \subseteq \operatorname{int}(B) \)

اثبات: اگر \( A \subseteq B \)، آنگاه \( \operatorname{int}(A) \subseteq \operatorname{int}(B) \)

فرض کنید \((X, d)\) یک فضای متریک و \( A \subseteq B \subseteq X \) باشد.

باید نشان دهیم \( \operatorname{int}(A) \subseteq \operatorname{int}(B) \).

اثبات:

فرض کنید \( p \in \operatorname{int}(A) \) دلخواه باشد.

یعنی \( p \) نقطه داخلی \( A \) است.

پس \( \exists r > 0 \) طوری که:

\[ N_r(p) \subseteq A \]

از طرفی \( A \subseteq B \)، بنابراین:

\[ N_r(p) \subseteq A \subseteq B \]

یعنی:

\[ N_r(p) \subseteq B \]

پس همان \( r > 0 \) کار می‌کند و \( p \) نقطه داخلی \( B \) است.

یعنی \( p \in \operatorname{int}(B) \).

چون \( p \) دلخواه در \( \operatorname{int}(A) \) بود، داریم:

\[ \operatorname{int}(A) \subseteq \operatorname{int}(B) \].■

مسئله: اگر \( A \subseteq B \)، آنگاه \( \overline{A} \subseteq \overline{B} \)

اثبات: اگر \( A \subseteq B \)، آنگاه \( \overline{A} \subseteq \overline{B} \)

روش اول (مستقیم از تعریف بستار):

فرض کنید \( p \in \overline{A} \) دلخواه باشد.

یعنی برای هر همسایگی دلخواه با شعاع \( r > 0 \):

\[ N_r(p) \cap A \neq \emptyset \]

بنا به فرض \( A \subseteq B \)، پس:

\[ N_r(p) \cap A \subseteq N_r(p) \cap B \]

بنابراین \( N_r(p) \cap B \neq \emptyset \).

این برای هر \( r > 0 \) دلخواه برقرار است، پس \( p \in \overline{B} \).

چون \( p \) دلخواه بود، \( \overline{A} \subseteq \overline{B} \). ■

روش دوم (با استفاده از مکمل و قضیه داخلی):

فرض \( A \subseteq B \).

آنگاه \( B^c \subseteq A^c \).

⇒ \( (B^c)^\circ \subseteq (A^c)^\circ \)

⇒ \( (\overline{B})^c \subseteq (\overline{A})^c \)

⇒ \( \overline{A} \subseteq \overline{B} \). ■